Завдання і задачі IV етапу ІІІ Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії
У третій Всеукраїнській учнівській олімпіаді з астрономії взяли участь учні 10-х та 11-х класів. Зважаючи на це олімпіадні завдання і задачі були двох рівнів. Їх розподілили на три тури – теоретичний, практичний та псевдоспостереження. Нижче подано ці завдання і задачі, а також відповіді на них.
Завдання теоретичного туру IV етапу ІІІ Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії (25.03.2013 м. Київ), 10 клас
Задача 1. Вимірювання радіуса Землі. Щоб виміряти радіус Землі, ще з часів давньогрецького вченого Ератосфена користувалися вимірами максимальної висоти Сонця в той самий день року в двох пунктах на земній поверхні. Припустимо, що такі виміри здійснюються у населених пунктах, розташованих на одному меридіані на відстані
приблизно 50 км один від одного. З якою похибкою потрібно було б виміряти цю відстань, щоб отримати точність визначення радіусу Землі не гірше 100 км? Для обчислень можна використати сучасне середнє значення радіусу Землі 6371 км. Виміри висоти Сонця вважати точними.
(8 балів)
Задача 2. Газо-пилова туманність. Класична цефеїда, яка знаходиться на околиці газо-пилової туманності з кутовими розмірами 1°, виглядає зорею 12m і має період пульсацій 10 діб. Густина газо-пилової туманності 10-19 кг/м3.
Знайти:
1) абсолютну зоряну величину зорі,
2) віддаль до туманності,
3) лінійні розміри туманності,
4) масу туманності в масах Сонця.
Пояснення до рисунка: період P на графіку подано у логарифмічній шкалі, перехід до лінійної здійснюється за простим алгоритмом: P=10х, де х є значенням періоду в логарифмічній шкалі вздовж осі абсцис.
(10 балів)
Задача 3. Перетікання речовини у подвійній системі. Нехай у подвійній системі відбулося перенесення речовини з головного компоненту А на компонент В. Визначте, як після цього зміняться великі півосі aA та aB компонентів, якщо спочатку їх маси були MA та MB (MA > MB), і маса кожної зорі змінилася на величину ΔM (консервативне перенесення). Вважайте, що ΔM << MA та MB.
(12 балів)
Задача 4. Челябінський метеорит. 15 лютого 2013 року над Челябінськом вибухнув метеорит. За оцінками астрономів метеорне тіло мало розміри приблизно 15 м. Якщо допустити, що це тіло мало кулясту форму і альбедо як у Місяця (7%), визначити, який був його блиск на відстані Місяця від Землі? Вважати, що освітлена сторона цього метеорного тіла була повернута до Землі в момент спостереження. Яким повинен бути діаметр об’єктива телескопа D (мм) в Київському астрономічному клубі «Астрополіс», щоб його члени вночі побачили це тіло?
(10 балів)
Задача 5. Транзит Венери. 6 червня 2012 р. сотні вчених і тисячі аматорів астрономії у всьому світі слідкували за достатньо рідкісним астрономічним явищем – транзитом Венери по диску Сонця. На рисунку показано зображення даного явища, отримане обсерваторією сонячної динаміки (SDO) Американського космічного агентства (NASA).
Припустивши, що фотографію було зроблено з поверхні Землі, визначте за знімком реальний діаметр Венери, якщо у момент транзиту відстані від Землі до Сонця і Венери до Сонця становили відповідно r1=1,015 а.о. і r2 = 0,725 а.о. Кутовий діаметр Сонця 32′.
(10 балів)
Завдання практичного туру IV етапу III Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії (26.03.2013 м. Київ), 10 клас
Задача 1 (15 балів). Цефеїда. Цефеїди – це гіганти або надгіганти спектральних класів F и G, блиск яких змінюється з амплітудою від 0,5m до 2,0m і періодом 1 – 200 діб. Змінність відбувається внаслідок пульсації зовнішніх шарів цефеїд, що призводить до періодичних змін радіусу та температури їх фотосфер.
У таблиці, що подана нижче, наведені дані типової цефеїди. Використовуючи ці дані, розрахувати та побудувати:
1. Графік залежності температури зорі від юліанської дати.
2. Визначити період пульсації цефеїди.
3. За формулою Mv = -1.01-2.79·lgP (де Р – період, у добах) визначити середню за період пульсацій абсолютну зоряну величину Mv.
4. Розрахувати для кожної точки кривої блиску світність зорі.
5. Визначити дату початку й кінця спостережень, якщо відомо, що юліанська дата 12 годин 1 січня 2000 року – 2451545,00.
6. Оцінити зоряну величину цефеїди на 16 годину 26 березня 2013 року.
7. Визначити, при якому значенні радіусу спостерігається найбільша світність?
| Юліанська дата | Радіус, м | Температура, К | Світність, Вт |
|---|---|---|---|
| 2456375.25 | 211,4·108 | 5548 | |
| 2456375.78 | 211,5·108 | 5739 | |
| 2456376.06 | 214,8·108 | 5976 | |
| 2456376.22 | 218,7·108 | 6297 | |
| 2456376.32 | 220,9·108 | 6600 | |
| 2456376.43 | 222,4·108 | 6677 | |
| 2456376.60 | 223,6·108 | 6680 | |
| 2456377.13 | 225,6·108 | 6622 | |
| 2456377.66 | 231,5·108 | 6262 | |
| 2456378.20 | 235,3·108 | 5928 | |
| 2456378.74 | 236,5·108 | 5658 | |
| 2456379.00 | 235,0·108 | 5436 | |
| 2456379.27 | 232,8·108 | 5359 | |
| 2456379.54 | 229,7·108 | 5298 | |
| 2456379.81 | 226,2·108 | 5262 | |
| 2456380.08 | 222,6·108 | 5269 | |
| 2456380.34 | 218,7·108 | 5314 | |
| 2456380.62 | 214,9·108 | 5404 | |
| 2456381.15 | 211,6·108 | 5558 | |
| 2456381.69 | 210,5·108 | 5729 | |
| 2456381.80 | 212,8·108 | 6018 | |
| 2456381.96 | 219,9·108 | 6590 | |
| 2456382.22 | 221,5·108 | 6629 | |
| 2456382.76 | 223,7·108 | 6603 |
Стала Стефана-Больцмана σ = 5,67·10-8Вт/(м2К4);
Відстань до зорі 272 пк;
Світність Сонця 3,846·1026Вт;
Абсолютна зоряна величина Сонця 4,83m.
Задача 2 (15 балів). Мала Ведмедиця. За поданими фотографією та картами зоряного неба та за допомогою підручних засобів:
а) позначте на фотографії, які із зір сузір’я UMi (Мала Ведмедиця) потрапили в кадр, підпишіть їх на знімку;
б) побудуйте на фотографії лінії прямих піднесень (лінію 0h–12h та лінію 6h–18h) та позначте північний полюс світу;
в) знайдіть кутовий розмір поля кадру в градусах;
г) оцініть час, за який було зроблено зображення;
д) знайдіть фокусну відстань об’єктива фотоапарата, якщо розмір зображення на плівці 24х36мм;
е) оцініть «на око», використовуючи карту №2 граничну зоряну величину зір на фото;
є) оцініть зоряний час в період спостережень;
ж) в яку пору року було зроблене зображення, якщо відомо, що воно отримане близько 20 години.
| Зоря | Назва | Пряме піднесення, hh mm ss,s | Схилення, +dd mm ss |
|---|---|---|---|
| α UMi | Полярна зоря | 02 31 48,7 | +89 15 51 |
| β UMi | Кохаб | 14 50 42,3 | +74 09 20 |
| γ UMi | Феркад | 15 20 43,7 | +71 50 02 |
| δ UMi | 17 32 12,9 | +86 35 11 | |
| ε UMi | 16 45 58,2 | +82 02 14 | |
| ζ UMi | 15 44 03,5 | +77 47 40 | |
| η UMi | 16 17 30,5 | +75 45 16 | |
| θ UMi | 15 31 25,0 | +77 20 58 |
Завдання теоретичного туру IV етапу ІІI Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії (25.03.2013 м. Київ), 11 клас
Задача 1 (10 балів). Альфа Кентавра. Як відомо, α Кентавра – найближча до нас зоряна система. Вона складається з трьох компонентів. Два з них, α Кентавра А та α Кентавра B – зорі головної послідовності, по характеристикам близькі до Сонця, рухаються навколо центру мас на середній відстані 23,4 а.о. один від одного. Третій компонент,
Проксима, – червоний карлик, який, за припущенням, рухається навколо компонентів А та B по орбіті з радіусом 15 000 а.о. і періодом 500 000 років або більше. Це припущення базується на дуже схожих векторах їх просторової швидкості. Зараз Проксима є найближчою до нас зорею системи α Кентавра. Оцінити:
1. Коли система α Кентавра буде знаходитись найближче до Cонячної системи (якщо вектор її швидкості має постійне значення)?
2. Чи зможемо ми колись розрізнити Проксиму неозброєним оком?
При роз’вязанні використовувати дані про систему α Кентавра:
| α Центавра А+B | Проксима | |
|---|---|---|
| Радіальна швидкість, км/с | -21,6 | -21,7 |
| паралакс, ″ | 0,74723 | 0,7687 |
| координата, α | 14h39m37s | 14h29m43s |
| координата, δ | -60°50′02″ | -62°40′46″ |
| власний рух (″), μα | -3,67819 | -3,7754 |
| власний рух (″), μδ | 0,48184 | 0,76933 |
| зоряна величина | -0,27 | 11,05 |
Задача 2 (12 балів). Рентгенівський пульсар. Подвійна система зір з массами m1=12 Msun, m2=3 Msun має орбітальний період Pорб=12 діб. Менш масивний компонент є рентгенівським пульсаром з власним періодом пульсацій Ро=0,15 с (у системі відліку, в якій він є нерухомим). Знайти відносну зміну періоду пульсара внаслідок ефекту Доплера. Орбіта пульсара є коловою, промінь зору спостерігача лежить в площині орбіти.
Задача 3 (12 балів). Колапс зорі. У надрах зір з масою M > 10—12 Msun відбувається термоядерний синтез елементів аж до утворення елементів залізного піку (Fe, Co, Ni). Ядро зорі з цих елементів масою Mя ≈ 1,5—2 Msun зазнає ряд нестійкостей і колапсує у нейтронну зорю (цей процес, як правило, супроводжується спалахом наднової ІІ типу). Оцініть:
а) характерний час колапсу;
б) енергію, яка вивільняється при цьому та порівняйте її з енергією, що була виділена Сонцем за весь час його існування;
в) потенційно можливу потужність (світність) цього процесу.
Вказівка: вважайте, що народжена нейтронна зоря має радіус R~10 км, а щільність залізного ядра надгіганта ρ ~ 109 кг/м3.
Задача 4 (8 балів). Газо-пилова туманність. Класична цефеїда, яка знаходиться на околиці газо-пилової туманності з кутовими розмірами 1°, виглядає зорею 12m і має період пульсацій 10 діб. Густина газо-пилової туманності 10-19 кг/м3.
Знайти:
1) абсолютну зоряну величину зорі,
2) віддаль до туманності,
3) лінійні розміри туманності,
4) масу туманності в масах Сонця.
Пояснення до рисунка: період P на графіку подано у логарифмічній шкалі, перехід до лінійної здійснюється за простим алгоритмом: P=10х, де х є значенням періоду в логарифмічній шкалі вздовж осі абсцис.
Задача 5 (8 балів). Дивне затемнення. Коли ми спостерігаємо або фотографуємо сонячне затемнення, ми бачимо, що темний диск Місяця дорівнює за розміром диску Сонця (фото 1). На фото 2 також знято диск Місяця на фоні Сонця, але на ньому ми бачимо, що розмір диска Місяця в декілька разів менший. Як пояснити таку різницю? Відповідь обгрунтуйте.
Нагадуємо, що радіус Місяця приблизно 1700 км, а радіус Сонця – приблизно 700 000 км.
Завдання практичного туру IV етапу ІII Всеукраїнської учнівської олімпіади з астрономії (26.03.2013 м. Київ), 11 клас
Задача 1 (16 балів). Ве зоря. Зорі Ве типу – це зорі, у яких хоча б один раз за історію їх спостережень спостерігалися емісійні лінії в спектрах. Вважається, що емісійні ліній Ве зір зумовлені наявністю декреційного диску, тобто диску, що утворюється з речовини, яка витікає з поверхні зорі. Як правило, розподіл речовини в цих дисках не є однорідним, що призводить до появи двогорбих профілів ліній випромінювання Гідрогену з різною висотою піків. З часом форма та співвідношення висот піків змінюється, у тому числі і за рахунок обертання диску.
Як правило, Ве зорі швидко обертаються. Вважається, що швидкість їх обертання може сягати 0,8-0,9 від критичної швидкості обертання, тобто такої, коли лінійна швидкість обертання зорі на її екваторі дорівнює першій космічній.
Вам пропонується два спектри: спектр Fe-Ar (Ферум-Аргонної) лампи, як спектр порівняння, та спектр Ве зорі RX J0440.9+4431. На обох спектрах по осі Х відкладені значення положень пікселів (послідовні номери елементів приймача випромінювання зліва направо), які є однаковими для обох спектрів. На спектрі Ве зорі кожному значенню номеру пікселя відповідає нормоване значення інтенсивності. Нормованим значенням ми вважаємо значення інтенсивності, при якому інтенсивність неперервного спектру приймається за одиницю. Сааме нормовані інтенсивності й варто використовувати для розрахунків. Значення інтенсивностей в спектрі порівняння в розрахунках не використовуються.
1) Користуючись лабораторним спектром Fe-Ar лампи та даними з таблиці для лабораторних довжин хвиль ліній
а) з’ясувати, вид залежності положення лінії у спектрі порівняння від довжини хвилі;
б) визначити, який діапазон довжин хвиль охоплює дане зображення та кількість ангстрем, яка припадає на 1 піксель;
в) визначити довжину хвилі та інтенсивності центрального мінімуму лінії Hα та обох її піків;
г) знайти променеві швидкості обох піків лінії Hα та їх різницю Δpeaks (подвоєну лінійну швидкість обертання диску).
2) Вважаючи, що дана зоря обертається зі швидкістю 0,8 від критичної швидкості (тобто першої космічної на екваторі зорі), запишіть формулу та визначте за нею радіус декреційного диску у радіусах зорі. За радіус диску приймаємо радіус, на якому формуються піки інтенсивності лінії Hα. Лінійна швидкість на екваторі зорі 240 км/с. Вважати, що диск обертається за законами Кеплера, а не як тверде тіло.
Довжини хвиль ліній в спектрі Fe-Ar (Ферум-Аргонної) лампи в ангстремах (1 Å=10-10 м)
| 1 | 6416,307 |
|---|---|
| 2 | 6466,553 |
| 3 | 6483,083 |
| 4 | 6508,172 |
| 5 | 6513,846 |
| 6 | 6538,112 |
| 7 | 6596,114 |
| 8 | 6604,853 |
| 9 | 6632,084 |
| 10 | 6643,698 |
| 11 | 6660,676 |
| 12 | 6684,293 |
Задача 2 (14 балів). Мала Ведмедиця. Ця задача аналогічна задачі №2 для 10 кл. (умови див. вище)